Вид решения системы из n ЛОДУ для вещественного собственного числа кратности k с m линейно независимыми собственными векторами (m<k).

Вид решения системы из $n$ ЛОДУ для вещественного собственного числа кратности $k$ с $m$ линейно независимыми собственными векторами ($m<k$)

Рассмотрим систему $n$ линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка:

$${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$$

где $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ — вектор неизвестных функций, $A$ — матрица коэффициентов.

Собственные значения и собственные векторы

Пусть у матрицы $A$ есть вещественное собственное число $\lambda$ кратности $k$, и у этого собственного числа есть $m$ линейно независимых собственных векторов ($m<k$).

Джорданова форма

Для такого собственного числа $\lambda$ соответствующая часть Джордановой формы матрицы $A$ будет содержать один или несколько блоков Джордана, связанных с $\lambda$.

Вид решения

Если у собственного числа $\lambda$ кратности $k$ есть $m$ линейно независимых собственных векторов, то для построения решения системы потребуется также найти обобщенные собственные векторы.

1. Собственные векторы: Пусть ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_m$ — линейно независимые собственные векторы, соответствующие $\lambda$.

2. Обобщенные собственные векторы: Для каждого собственного вектора ${\mathbf{v}}_i$ (где $i=1,2,\dots ,m$), необходимо найти $(k-m)$ обобщенных собственных векторов, удовлетворяющих следующим условиям:

$$(A-\lambda I){\mathbf{v}}_{i,1}={\mathbf{v}}_i$$ $$(A-\lambda I){\mathbf{v}}_{i,2}={\mathbf{v}}_{i,1}$$ $$⋮$$ $$(A-\lambda I){\mathbf{v}}_{i,k-m-1}={\mathbf{v}}_{i,k-m-2}$$

Решения, связанные с каждым собственным вектором и его обобщенными собственными векторами:

Для каждого собственных векторов ${\mathbf{v}}_i$ и связанных с ним обобщенных собственных векторов ${\mathbf{v}}_{i,1},{\mathbf{v}}_{i,2},\dots ,{\mathbf{v}}_{i,k-m-1}$, общее решение системы включает:

$${\mathbf{x}}_i(t)=e^{\lambda t}\left(c_i{\mathbf{v}}_i+c_{i,1}(t{\mathbf{v}}_i+{\mathbf{v}}_{i,1})+c_{i,2}\left(\frac{t^2}{2!}{\mathbf{v}}_i+t{\mathbf{v}}_{i,1}+{\mathbf{v}}_{i,2}\right)+\dots +c_{i,k-m-1}\left(\frac{t^{k-m-1}}{(k-m-1)!}{\mathbf{v}}_i+\dots +{\mathbf{v}}_{i,k-m-1}\right)\right)$$

Общее решение системы

Полное решение системы записывается как линейная комбинация всех таких частных решений:

$$\mathbf{x}(t)=\sum _{i=1}^m{e}^{\lambda t}\left(c_i{\mathbf{v}}_i+\sum _{j=1}^{k-m-1}{c}_{i,j}\left(\sum _{p=0}^j\frac{t^p}{p!}{\mathbf{v}}_{i,j-p}\right)\right)$$

где:

• ${\mathbf{v}}_i$ — собственные векторы,
• ${\mathbf{v}}_{i,j}$ — обобщенные собственные векторы,
• $c_i$ и $c_{i,j}$ — произвольные константы, определяемые начальными условиями.

Пример

Рассмотрим систему с матрицей:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 0\\ 0& 4& 1\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

У матрицы $A$ есть собственное число $\lambda =4$ кратности 3. Собственный вектор ${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$. Необходимы два обобщенных собственных вектора:

$$(A-4I){\mathbf{v}}_{1,1}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$$ $$(A-4I){\mathbf{v}}_{1,2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

Решение включает:

$$\mathbf{x}(t)=e^{4t}\left(c_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+c_{1,1}\left(t\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)\right)+c_{1,2}\left(\frac{t^2}{2!}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\right)\right)$$

Таким образом, общее решение системы:

$$\mathbf{x}(t)=e^{4t}\left(c_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+c_{1,1}\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 0\end{array}\right)+c_{1,2}\left(\begin{array}{c}\frac{t^2}{2}\\ t\\ 1\end{array}\right)\right)$$